Seminário Itegrador V

FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE
POLO UNIVERSITÁRIO DE TRÊS DEMAIO
CURSO DE MATEMÁTICA – LICENCIATURA





SEMINÁRIO INTEGRADOR V





VERA MARIA LESSÊS
MATRÍCULA : 43878

Três de Maio/RS, Junho de 2011.

MÓDULO I - Apresentação teórica do conteúdo que será abordado no material:

FUNÇÃO
Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma associação entre cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação é considerada uma função. Observe o exemplo:




O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os estudos das funções temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações entre pares ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções.

As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio da função, enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo a imagem da função.

Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que relaciona: o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei de formação: f(x) = 2,50*x, onde f(x): preço a pagar e x: quantidade de litros. Observe a tabela abaixo:


Percebemos que para cada valor de x temos uma representação em f(x), esse modelo é um típico exemplo de função do 1º grau.
A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática outras ciências, como a física e a química.

Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:
►Características, tipos e elementos de uma função.
►Função do primeiro grau.
►Função do segundo grau.

Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia-a-dia, por exemplo: Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.

Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação seja representada em uma função na forma algébrica.

Para dar início ao estudo de função é necessário que tenhamos o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações. Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais.

Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a R* e b R.
Veja alguns exemplos de Função afim.
f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1
f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1
f(x) = x ; a = 1 e b = 0

f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5
2 2
Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 podem ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.

Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = -2 x = - 1 x = 0
y = 2 . (-2) – 3 y = 2 . (-1) – 3 y = 2 . 0 - 3
y = - 4 – 3 y = -2 – 3 y = -3
y = - 7 y = - 5

x = 1
y = 2 . 1 – 3
y = 2 – 3
y = -1

Os valores de x são o domínio e a imagem e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que Im = R.
PLANO CARTESIANO

Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:


O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.

Marcando pontos no plano cartesiano

Dados os pontos A(3,6), B(2,3), C(-1,2), D(-5,-3), E(2,-4), F(3,0), G(0,5), represente-os no plano cartesiano.

Marcando o ponto A(3,6)
Primeiro: localiza-se o ponto 3 no eixo das abscissas
Segundo: localiza-se o ponto 6 no eixo das ordenadas
Terceiro: Traçar a reta perpendicular aos eixos, o encontro delas será o local do ponto.



O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.

Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 • 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y
0 -1
0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a • 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.



Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8


Notemos que, quando aumentamos o valor de x, os correspondentes
valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
função y = 3x - 1 é crescente.
Observamos novamente seu gráfico:


Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).













FUNÇÕES MATEMÁTICAS NA CINEMÁTICA

A Matemática está presente em diversas situações cotidianas, na Física ela possui importantes aplicabilidades, como na Cinemática (parte da Física que estuda os movimentos relacionando-os através dos conceitos de posição, velocidade e aceleração). Essa relação acontece por meio do uso de funções matemáticas do 1º e do 2º graus.
Nesta etapa, vamos fixar nossos estudos na função do 1º grau, que é o fundamento dos movimentos uniformes, aqueles em que o valor da velocidade é constante, ou seja, não possuem aceleração.
A função do 1º grau possui a seguinte lei de formação: y = ax + b. Uma das funções do movimento uniforme é dada pela expressão espaço em função do tempo: S = So +VT. Ao comparar as duas expressões obtemos a seguinte relação:


A comparação entre as expressões deixa bem claro que a fórmula definida como espaço em função do tempo é uma função do 1º grau.
Exemplo: Dois carros se movem em linha reta em movimento uniforme e no mesmo sentido. No instante tº = 0 eles estão distantes 200 m um do outro, conforme a ilustração. Se o carro A desenvolve uma velocidade constante de 8 m/s e o carro B de 6 m/s, quanto tempo o carro A leva para alcançar o carro B?


O carro A parte da origem com velocidade escalar de 8 m/s, portanto, a função do movimento do carro A é: S + So + VT . Logo, temos que: S = 0 + 8t → S = 8t.
O carro B parte da posição 200m com velocidade escalar 6 m/s, portanto, a função do movimento do carro B é: S = So + VT. Logo, temos que: S = 200 + 6t.
Os dois carros deslocam-se no mesmo sentido, como a velocidade do carro A é maior que a velocidade do carro B, dessa forma, em algum instante o carro A alcançará o carro B. Para calcularmos o instante do encontro basta igualarmos as duas funções. Então:
Sa = Sb
8t = 200 + 6t
8t – 6t = 200
2t = 200
t= 200/2
t= 100 s → Após 100 segundos ou aproximadamente 1,66 minutos o carro A alcançará o carro B.

ANALISANDO SITUAÇÕES ATRAVÉS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU

Toda função do 1º grau possui a seguinte lei de formação: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠0. Esse modelo de função contribui na elaboração e resolução de situações problemas cotidianas. Através de exemplos, será mostrada a importância e a aplicação dos estudos relacionadas às funções do 1º grau.

Exemplo 1: Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida. Qual o custo de produção de 100.000 peças? Quantas peças podem ser produzidas com R$ 20.000,00?
RESOLUÇÃO:

Percebemos que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas (R$ 1,20 a peça produzida). Segundo a lei de formação, temos que: y = ax + b. Logo, vem que: → y = 1,2x + 200.
Como queremos saber o custo de produção para 100.000 peças, temos que:
Y = 1,2(10.000) + 200
Y = 12000+200
Y = 12.200,00. Logo, o custo de produção de 10.000 peças é de R$ 12.200,00.

Para sabermos o número de peças que podem ser produzidas com R$ 20.000,00, fizemos:
1,2x + 200 = 20.000,00
1,2x= 20.000,00 – 200
1,2x = 19.800,00
X= 19.800,00/1,2
X= 16.500. Logo, serão produzidas 16.500 peças.

Exemplo 2: Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes opções de pagamentos mensais:
Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período.
Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período.
Analise os planos, com o objetivo de demonstrar, em quais condições um ou outro é mais vantajoso.

RESOLUÇÃO:
Função do Plano A: y = 20x + 110
Função do Plano B: y = 15x + 130
Momento em que os planos são exatamente iguais: A = B → 20x + 110 = 15x + 130
20x – 15x = 130 – 110
5x = 20
X = 20/5
X= 4
Custo do Plano A menor que o custo do Plano B: A < B → 20x + 110 < 15x + 130
20x – 15x < 130 – 110
5x < 20
X<20/5
X < 4
Custo do Plano B menor que o custo do plano A: B < A → 15x + 130 < 20x + 110
15x – 20x < 110 – 130
- 5x < -20 (-1)
X > 20/5
X > 4. Concluindo: Se o cliente realizar quatro consultas por mês, ele pode optar por qualquer plano. Se o número de consultas for maior que quatro, o plano B possui um custo menor. Caso o número de consultas seja menor que quatro, o plano A possui custo menor.


ESTUDOS MATEMÁTICOS E FÍSICOS SOBRE A PRESSÃO SANGUÍNEA
A Matemática e a Física são responsáveis pela explicação de inúmeros fatos ocorridos na natureza. Um processo vital para o ser humano é a circulação sanguínea pelo corpo. Ao pulsar, o coração impulsiona o sangue oxigenado pelas artérias para todas as partes do corpo, retornando ao próprio coração, pelas veias, carregado de gás carbônico , que, por sua vez, é bombeado ao pulmão objetivando as trocas gasosas.
Ao circular, o sangue encontra o atrito das paredes arteriais, por isso o coração bate sistematicamente em intervalos regulares. Temos dois tipos de pressão, uma decorrente da força imposta pelo coração e outra, imposta pelo calibre arterial. A força realizada pelo coração para impulsionar o sangue é denominada de sistólica (pressão máxima) e a resistência oferecida pelas paredes arteriais ao sangue impulsionado que é chamada de diastólica (pressão mínima).
Quando medimos a nossa pressão arterial com o aparelho conhecido como esfigmomanômetro e detectamos, por exemplo, o valor de 11 por 7, estamos sendo informados que nossa pressão máxima é de 110 mmHg (milímetros de mercúrio) e a pressão mínima é de 70 mmHg. O coração impulsiona o sangue a uma força de 110 e a resistência da parede arterial é de 70. Esse valor tomado como exemplo é considerado uma pressão sanguínea normal.
A unidade de medida da pressão arterial, dada por mmHg foi criada em 1643 por EvangelistaTorricelli, físico e matemático italiano. A medida de 1mmHg corresponde a 133,32 Pa (Pascal), a 1,33 mb (Milibar) e a 0, 00131578947368 atm (Atmosfera) que são unidades de medidas de pressão de acordo co o SI (Sistema Internacional de Medidas).
A hipertensão (pressão alta) ocorre mediante a diminuição do diâmetro das artérias, pois, nesse caso, o coração deve aumentar a força do batimento para que o sangue atinja todas as partes do corpo. Esse estreitamento das artérias pode ser de origem natural ou devido à dieta alimentar rica em gorduras e sal, que se alojam na parede das artérias próximas ao coração. As bebidas alcoólicas e o cigarro também influenciam no aumento da pressão arterial.



MÓDULO II - Estratégias didático-pedagógicas e recursos que serão utilizadas ao se trabalhar o conteúdo:

Utilizarei como estratégias didáticas e pedagógicas: resumos no quadro branco ou negro, aulas expositivas, aulas explicativas, folhas impressas, pesquisas em bibliografias variadas para ampliação dos conhecimentos, atividades de fixação de conteúdos, construção de gráficos usando o Geogebra, etc.


MÓDULO III – Atividades práticas propostas aos estudantes
a) Vídeo – Movimento Retilíneo Uniforme http://www.youtube.com
Física 07 -- Movimento retilíneo uniforme Parte 1
O vídeo será apresentado com o objetivo de despertar o interesse dos alunos pelo estudo e entendimento de funções afim.
b) Uso do software Geogebra
O uso deste software tem como objetivo a construção dos gráficos necessários para o estudo de função a fim e sua interdisciplinaridade com a Cinemática.



MÓDULO IV – Atividades de Fixação a serem propostas aos alunos



1). Um carro está localizado no Km 16 de uma rodovia retilínea no instante t = 0. Ele está se movendo a uma velocidade constante de 80 km/h. Determine:

a) a função horária do movimento do carro.

Solução: Sabemos que a função horária é dada por S = S0 + vt
Segue que:
S0 = 16 e v = 80 km/h
Assim,
S = 16 + 80t

b) Determine a posição que o carro estará no instante t = 1,5

Solução: Para determinar a posição no instante t = 1,5 basta substituir esse valor na função horária do movimento. Assim, teremos:
S = 16 +80*1,5
S = 16 + 120 = 136 km
2). Um carro parte com velocidade constante de 90 km/h, de uma cidade localizada no km 220 de uma certa rodovia. Determine a localização do carro na rodovia 2 h após a partida, supondo que ele se movimenta:
a) no sentido da numeração crescente da rodovia.

Solução: Sabemos que S = So + vt →S = 220 + 90 . 2 → S = 400 Km.

b) no sentido da numeração decrescente da rodovia
.
Solução: Temos que: S = So + vt→ S = 20 – 90.2 →S = 40 Km


1) Dois móveis A e B movimentam-se numa mesma trajetória e no mesmo sentido. Num determinado instante, o móvel A, que possui velocidade constante de 25 m/s, encontra-se 200 m atrás do móvel B, que possui velocidade constante de 15 m/s. Determine em quanto tempo o móvel A alcança o móvel B e a posição do encontro.
Solução:
Sa = Sb
So + vt = So + vt



4). Quanto tempo demora um trem com 200 m de comprimento, que se movimenta com velocidade constante de 36 km/h (ou 10 m/s), para atravessar uma ponte com 100 m de comprimento?

Solução: Neste caso temos que:
S = 200m
So = 0
V = 10 m/s. Substituindo na equação, tem-se: 200 = 0 + 10t→200/10 = t→t= 20 s.


5)Um móvel movimenta-se com velocidade constante de 30 m/s.
a) Que distância ele percorre em 20 s?

Solução:Neste caso temos: S = So + vt→S = 0 + 30. 20→S = 60m.

b) Em quanto tempo ele percorrerá 1500 m?
Solução: Temos que: S = So + vt→1500 = 0 + 30.t→30t = 1500→t = 1500/30→t = 50s.


6) Se uma pessoa anda 2 km em 30 min, a sua velocidade, admitida constante, é de:
a) 1 km/h b) 2 km/h c) 3 km/h d) 4 km/h e) 5 km/h
Solução: Como a pessoa caminha 2 Km a cada meia hora, então, sua velocidade constante é de 4 km/h.


7) A velocidade do som no ar é praticamente constante e igual a 340 m/s. Quanto tempo
demora para uma pessoa ouvir uma explosão que aconteceu a 1700 m de distância?

Solução: Temos que: 1700 = 0 + 340t→t = 1700/340→t = 5 s.

8) O Sol encontra-se a 150 milhões de quilômetros da Terra. Então, um raio de luz, viajando com velocidade constante de 300 mil quilômetros por segundo, demora para vir do Sol à Terra:
a) 2 s
b) 50 s
c) 200 s
d) 500 s
e) 2000 s
Solução:Temos que: 150.000.000 = 0 + 300 000t→t = 150 000 000/300 000→t = 500 s.
Logo, a luz do Sol demora 500 segundos para chegar à Terra.

9) A função horária dos espaços de um móvel é s = 5 + 3t. Considere s em metros e t em
segundos. Determine:
a) o espaço inicial e a velocidade do móvel.
Solução: Comparando as esquações S = So + vt com S = 5 + 3t, temos que: o espaço inicial é de 5m e a velocidade inicial é de 3m/s.

b) o espaço do móvel no instante t = 10 s.
Solução: Substituindo t = 10 s em: S = 5 + 3 .10→S = 35 m.


10)Um móvel se desloca obedecendo à seguinte função horária: s = -50 + 20t.
a) Qual é o espaço inicial e a velocidade do móvel?
Solução: Comparando as equações, temos que So = - 50 m e V = 20 m/s.
b) Em que instante o móvel passa pela origem dos espaços?
Solução: Substituindo, temos que: 0 = -50 + 20t→20t =50→t = 2 s.

c) Qual é o espaço do móvel no instante t = 10 s?
Solução: Substituindo os valores na função: S = - 50 + 20.10→S = -50 +200→S = 150 m.


Referências Bibliográficas:
1. http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php
2. http://www.matematica.com.br/site/
3. http://www.brasilescola.com
4. Youtube.com
5. FILHO, Benigno Barreto e SILVA, Claudio Xavier da. MATEMÁTICA. Vol. Único, FTD, São Paulo, 2000.
6. PENTEADO, Paulo Cesar M. e TORRES, Carlos Magno A. FÍSICA – CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Vol. 1, Moderna, São Paulo, 2005.